Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt

Taylor-Formel

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion,  ${}P\in G$  ein Punkt und  ${}\epsilon >0$  derart, dass  ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$  ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit  ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$  die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen