Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt gibt es zu jedem ein (von abhängiges) mit

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion , die wir abschätzen müssen. Wegen

ist

Da nach Voraussetzung die -ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion der Limes für und ist gleich . Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.

Zur bewiesenen Aussage