# Mengenabbildung/Punktiert/Zugehörige lineare Abbildung/Aufgabe

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Wir betrachten auf der Menge

${\displaystyle {}S=\{1,\ldots ,n,*\}\,}$

die Menge der Abbildungen

${\displaystyle {}B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.}$

Zu ${\displaystyle {}\pi \in B}$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ${\displaystyle {}K}$) die lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},}$

die durch

${\displaystyle \varphi (e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}}$

festgelegt ist. Mit ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ bei ${\displaystyle {}n=4}$ für die folgenden ${\displaystyle {}\pi }$:

(1)

 ${\displaystyle {}x}$ ${\displaystyle {}1}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}4}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}\pi (x)}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}*}$

(2)

 ${\displaystyle {}x}$ ${\displaystyle {}1}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}4}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}\pi (x)}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}1}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}*}$

(3)

 ${\displaystyle {}x}$ ${\displaystyle {}1}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}4}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}\pi (x)}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}*}$

(4)

 ${\displaystyle {}x}$ ${\displaystyle {}1}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}3}$ ${\displaystyle {}4}$ ${\displaystyle {}*}$ ${\displaystyle {}\pi (x)}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}2}$ ${\displaystyle {}*}$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ${\displaystyle {}M_{\pi }}$?

c) Für welche ${\displaystyle {}\pi }$ ist ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ bijektiv?

d) Für welche ${\displaystyle {}\pi }$ ist ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ nilpotent?

e) Welche Dimension besitzt der Kern von ${\displaystyle {}M_{\pi }}$?

f) Zeige

${\displaystyle {}M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.}$

g) Zeige, dass jede nilpotente ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M}$ ähnlich

zu einer Matrix der Form ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ ist.