Mengenabbildung/Punktiert/Zugehörige lineare Abbildung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

{}S=\{1,\ldots ,n,*\}\,

die Menge der Abbildungen

{}B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.

Zu ${}\pi \in B$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ${}K$ ) die lineare Abbildung

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},

die durch

\varphi (e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}

festgelegt ist. Mit ${}M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix ${}M_{\pi }$ bei ${}n=4$ für die folgenden ${}\pi$ :

(1)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}*$	${}3$	${}*$	${}*$

(2)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}1$	${}2$	${}3$	${}*$

(3)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$

(4)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}2$	${}2$	${}2$	${}*$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ${}M_{\pi }$ ?

c) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ bijektiv?

d) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ nilpotent?

e) Welche Dimension besitzt der Kern von ${}M_{\pi }$ ?

f) Zeige

{}M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.

g) Zeige, dass jede nilpotente ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ ähnlich

zu einer Matrix der Form

{}M_{\pi }

ist.