Mengenabbildung/Punktiert/Zugehörige lineare Abbildung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

${}S=\{1,\ldots ,n,*\}\,$

die Menge der Abbildungen

${}B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.$

Zu ${}\pi \in B$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ${}K$) die lineare Abbildung

$\varphi _{\pi }\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$

die durch

${}\varphi _{\pi }(e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}\,$

festgelegt ist. Mit ${}M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix ${}M_{\pi }$ bei ${}n=4$ für die folgenden ${}\pi$:

(1)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}*$	${}3$	${}*$	${}*$

(2)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}1$	${}2$	${}3$	${}*$

(3)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$

(4)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}2$	${}2$	${}2$	${}*$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ${}M_{\pi }$?
c) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ bijektiv?
d) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von ${}M_{\pi }$?
f) Zeige

${}M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.$

g) Zeige, dass jede nilpotente ${}n\times n$-Matrix ${}M$ ähnlich zu einer Matrix der Form ${}M_{\pi }$ ist.

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