Mengenfamilien/Einführung/Textabschnitt

Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

$M_{i}{\text{ , }}i\in I.$

Die Menge ${}I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind.

Definition

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge ${}G$. Dann heißt

${}\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$

der Durchschnitt der Mengen und

${}\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$

die Vereinigung der Mengen.

Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,$

die Produktmenge der ${}M_{i}$.

Sobald eine der beteiligten Mengen ${}M_{i}$ leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die ${}i$-te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen ${}M_{i}$ nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index ${}i$ dann ein Element ${}x_{i}\in M_{i}$ wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des Auswahlaxioms.

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}M_{n}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq n\right\}}\,$

die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie ${}n$ sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von ${}\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen

$M_{n}\subseteq M_{m}{\text{ für }}n\geq m.$

Der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

${}\mathbb {N} n={\left\{x\in \mathbb {N} _{+}\mid x{\text{ ist ein Vielfaches von }}n\right\}}\,$

die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von ${}n$ sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von ${}\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen

$\mathbb {N} n\subseteq \mathbb {N} m{\text{ für }}m{\text{ teilt }}n.$

Der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}\mathbb {N} n$

ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die ${}0$ ist ein solches Vielfaches).

Beispiel

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl und es sei ${}x_{n}$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten ${}n$ Nachkommaziffern von ${}x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

${}M_{n}=\left[x_{n},x_{n}+{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}\right]\subset \mathbb {R} \,.$

Dies sind Intervalle der Länge ${}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}$ und es ist

${}\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}\,.$

Die Familie ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ist also eine Intervallschachtelung für ${}x$.