Mengenfamilien/Einführung/Textabschnitt

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Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie.


Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

Die Menge heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind.


Definition  

Es sei , , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge . Dann heißt

der Durchschnitt der Mengen und

die Vereinigung der Mengen.

Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird.


Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der .

Sobald eine der beteiligten Mengen leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die -te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index dann ein Element wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des Auswahlaxioms.


Beispiel  

Zu sei

die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von . Es gelten die Inklusionen

Der Durchschnitt

ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.



Beispiel  

Zu sei

die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von . Es gelten die Inklusionen

Der Durchschnitt

ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die ist ein solches Vielfaches).



Beispiel  

Es sei eine reelle Zahl[1] und es sei diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten Nachkommaziffern von im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

Dies sind Intervalle der Länge und es ist

Die Familie , , ist also eine Intervallschachtelung für .


  1. Die reellen Zahlen werden in der Analysis axiomatisch eingeführt; Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.