Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst $𝒜$ eine $\sigma$-Algebra. Wegen

$S\cap T=M\setminus (M\setminus S\cup M\setminus T)$

ist diese duchschnittsstabil und es gilt für  $S\subseteq T$  auch

$T\setminus S=T\cap (M\setminus S),$

daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.

Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei $T_n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, eine abzählbare Familie von Mengen aus $𝒜$, von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben

$S_n=T_n\cap (M\setminus T_1)\cap (M\setminus T_2)\cap \dots \cap (M\setminus T_{n-1}).$

Diese gehören zu $𝒜$ und es gilt

$\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{T}_n=\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{S}_n,$

wobei die zweite Vereinigung disjunkt ist und daher zum System gehört.

Zur gelösten Aufgabe