Meromorphe Funktion/Ordnung mal Auswertung/Logarithmische Ableitung mal Funktion/Residuum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}k=\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Dann ist

${}f={\left(z-P\right)}^{k}g(z)\,$

mit einer in ${}P$ holomorphen Funktion ${}g$ mit ${}g(P)\neq 0$. Mit der Produktregel ist

${}h(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=h(z){\frac {k{\left(z-P\right)}^{k-1}g(z)+{\left(z-P\right)}^{k}g'(z)}{{\left(z-P\right)}^{k}g(z)}}=h(z){\left(k\cdot {\frac {1}{z-P}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)}\,.$

Hierbei ist ${}{\frac {g'(z)}{g(z)}}$ holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt ${}P$ ablesen, sie ist nämlich ${}{\frac {k\cdot h(P)}{z-P}}+$ eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt ${}P$ gleich ${}k\cdot h(P)$.

Zur bewiesenen Aussage