Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Idee ist, die Funktion im -ten Schritt durch eine einfache Funktion zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form mit sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl ist entweder , oder es gibt ein eindeutig bestimmtes zwischen und mit . Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.

Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von die Mengen messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen .