Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Idee ist, die Funktion ${}f$ im ${}n$-ten Schritt durch eine einfache Funktion ${}f_{n}$ zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form ${}{\frac {k}{2^{n}}}$ mit ${}0\leq k\leq n2^{n}$ sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl ${}a$ ist entweder ${}a\geq n$, oder es gibt ein eindeutig bestimmtes ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n2^{n}-1$ mit ${}{\frac {k}{2^{n}}}\leq a<{\frac {k+1}{2^{n}}}$. Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.

${}f_{n}(x):={\begin{cases}{\frac {k}{2^{n}}},\,{\text{ falls }}{\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}{\text{ mit }}k\leq n2^{n}-1\,,\\n{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von ${}f$ die Mengen ${}{\left\{x\in M\mid {\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right\}}$ messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen ${}f$.

Zur bewiesenen Aussage