Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Idee ist, die Funktion $f$ im $n$ -ten Schritt durch eine einfache Funktion $f_{n}$ zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form $\frac{k}{2^{n}}$ mit $0 \leq k \leq n 2^{n}$ sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl $a$ ist entweder $a \geq n$ , oder es gibt ein eindeutig bestimmtes $k$ zwischen $0$ und $n 2^{n} - 1$ mit $\frac{k}{2^{n}} \leq a < \frac{k + 1}{2^{n}}$ . Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.

f_{n} (x) := {\begin{matrix} \frac{k}{2^{n}}, falls \frac{k}{2^{n}} \leq f (x) < \frac{k + 1}{2^{n}} mit k \leq n 2^{n} - 1, \\ n sonst . \end{matrix}

Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von $f$ die Mengen ${x \in M ∣ \frac{k}{2^{n}} \leq f (x) < \frac{k + 1}{2^{n}}}$ messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen $f$ .

Zur bewiesenen Aussage