Beweis
Die Idee ist, die Funktion
im
-ten Schritt durch eine
einfache Funktion
zu approximieren, deren Werte
rationale Zahlen
der Form
mit
sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl
ist entweder
,
oder es gibt ein eindeutig bestimmtes
zwischen
und
mit
.
Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.
-

Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von
die Mengen
messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen
.