Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ ist

${}{\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} )}(x)\geq a\right\}}=\bigcap _{k}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}\right\}})\,.$

Diese Menge ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt dadurch die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.

Zur bewiesenen Aussage