Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt

Es sei $(M,𝒜)$ ein Messraum und sei

$f:M⟶\overline{ℝ}$

eine numerische Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $f$ ist messbar.
2. Für alle  $a\in ℝ$  ist $\{x\in M\mid f(x)\ge a\}$ messbar.
3. Für alle  $a\in ℝ$  ist $\{x\in M\mid f(x)>a\}$ messbar.
4. Für alle  $a\in ℝ$  ist $\{x\in M\mid f(x)\le a\}$ messbar.
5. Für alle  $a\in ℝ$  ist $\{x\in M\mid f(x)<a\}$ messbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen