Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist messbar.
2. Für alle  ${}a\in \mathbb {R}$  ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$ messbar.
3. Für alle  ${}a\in \mathbb {R}$  ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)>a\right\}}$ messbar.
4. Für alle  ${}a\in \mathbb {R}$  ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)\leq a\right\}}$ messbar.
5. Für alle  ${}a\in \mathbb {R}$  ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)<a\right\}}$ messbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen