Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge ${}V\subseteq M$ gegeben mit dem Urbild ${}U:=f^{-1}(V)$. Sei ${}x\in U$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}y=f(x)\in V$. Da ${}V$ offen ist, gibt es nach Definition ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V$. Nach (2) gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$. Daher ist

${}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${}x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${}U$ offen.
Es sei (4) erfüllt und ${}x\in L$ mit ${}y=f(x)$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da der offene Ball ${}U{\left(y,\epsilon \right)}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})$ offen. Da ${}x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein ${}\delta >0$ mit

${}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,$

sodass (1) erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage