Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge  $V\subseteq M$  gegeben mit dem Urbild  $U:=f^{-1}(V)$.  Sei  $x\in U$  ein Punkt mit dem Bildpunkt  $y=f(x)\in V$.  Da $V$ offen ist, gibt es nach Definition ein  $ϵ>0$  mit  $U(y,ϵ)\subseteq V$.  Nach (2) gibt es ein  $\delta >0$  mit  $f(U(x,\delta ))\subseteq U(y,ϵ)$.  Daher ist

$x\in U(x,\delta )\subseteq U$

und wir haben eine offene Ballumgebung von $x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist $U$ offen.
Es sei (4) erfüllt und  $x\in L$  mit  $y=f(x)$  und  $ϵ>0$  vorgegeben. Da der offene Ball $U(y,ϵ)$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild $f^{-1}(U(y,ϵ))$ offen. Da $x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein  $\delta >0$  mit

$U(x,\delta )\subseteq f^{-1}(U(y,ϵ)),$

sodass (1) erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage