Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge  ${}V\subseteq M$  gegeben mit dem Urbild  ${}U:=f^{-1}(V)$.  Sei  ${}x\in U$  ein Punkt mit dem Bildpunkt  ${}y=f(x)\in V$.  Da ${}V$ offen ist, gibt es nach Definition ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V$.  Nach (2) gibt es ein  ${}\delta >0$  mit  ${}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$.  Daher ist

${}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${}x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${}U$ offen.
Es sei (4) erfüllt und  ${}x\in L$  mit  ${}y=f(x)$  und  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Da der offene Ball ${}U{\left(y,\epsilon \right)}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})$ offen. Da ${}x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein  ${}\delta >0$  mit

${}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,$

sodass (1) erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage