Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Sei (1) erfüllt und eine offene Menge gegeben mit dem Urbild . Sei ein Punkt mit dem Bildpunkt . Da offen ist, gibt es nach Definition ein mit . Nach (2) gibt es ein mit . Daher ist

und wir haben eine offene Ballumgebung von innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist offen.
Sei (4) erfüllt und mit und vorgegeben. Da der offene Ball offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild offen. Da zu dieser Menge gehört, gibt es ein mit

so dass (1) erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage