Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei zunächst abgeschlossen und eine Folge gegeben, die in gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein derart, dass der gesamte -Ball im Komplement von liegt. Also ist

Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder , , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl der Durchschnitt

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf

beschränken kann und alle Folgenglieder , , in liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ist, konvergiert die Folge in nicht.

Zur bewiesenen Aussage