Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Aus (2) folgt (1) mit Fakt wegen Aufgabe. Es sei (2) erfüllt. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}X$. Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn ${}X$ nicht total beschränkt ist, so gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass von den offenen Bällen ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ keine endliche Auswahl ganz ${}X$ überdeckt. Wir können daher eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu  ${}n>m$.  der Abstand

${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\geq \epsilon \,$

ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.

Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}X$. Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen  ${}N_{k}\subseteq N_{k-1}\subseteq \mathbb {N}$  in folgender Weise: Es sei ${}N_{k-1}$ schon konstruiert. Es sei ${}U{\left(y_{1},{\frac {1}{k}}\right)},\ldots ,U{\left(y_{r},{\frac {1}{k}}\right)}$ eine offene Überdeckung von ${}X$, die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge  ${}N_{k}\subseteq N_{k-1}$  derart, dass die ${}x_{n}$, ${}n\in N_{k}$, in einem der Bälle ${}U{\left(y_{i},{\frac {1}{k}}\right)}$ liegen. Wir wählen eine Teilfolge ${}x_{n_{k}}$ mit  ${}n_{k}\in N_{k}$  und ${}n_{k}$ aufsteigend. Dann ist für  ${}\ell \geq k$  stets

${}d(x_{n_{k}},x_{n_{\ell }})\leq {\frac {2}{k}}\,.$

Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.

Zur bewiesenen Aussage