Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Beweis

Beweis

 Es sei ${}f(S)=T$ und ${}A\subseteq T$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz ${}T$ sei. Die eingeschränkte Abbildung

$f\colon S\longrightarrow T$

ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv. Daher ist ${}f^{-1}(A)$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge in ${}S$, die ebenfalls weder leer noch ganz ${}S$ ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}S$ zusammenhängend ist.

Zur bewiesenen Aussage