Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung  $X=U_1\uplus U_2$  in zwei nichtleere offene Teilmengen $U_1$ und $U_2$. Sei $x_1\in U_1$ und $x_2\in U_2$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

$\gamma :[a,b]⟶X$

mit $\gamma (a)=x_1$ und $\gamma (b)=x_2$. Dann ist

$[a,b]={\gamma }^{-1}(U_1)\uplus {\gamma }^{-1}(U_2)$

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe