Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum und seien ${}B$ und ${}C$ gleichgerichtete Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten ${}v$ und ${}w$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Relativgeschwindigkeitsvektor ${}v_{BC}$ steht senkrecht auf ${}v$.
2. Der Relativgeschwindigkeitsvektor ${}v_{BC}$ ist raumartig und es gilt

   ${}\Vert {v_{BC}}\Vert =\Vert {v_{CB}}\Vert =\rho _{BC}=\rho \,.$

3. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,.$

4. Es ist

   ${}w={\frac {v}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}+{\frac {v_{BC}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,$

   die Zerlegung von ${}w$ in die Raum- und die Zeitkomponente von ${}B$.

5. Der Zeitkoeffizient von ${}w$ bezüglich ${}B$ ist ${}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen