Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist

   ${}\left\langle v,v_{BC}\right\rangle =\left\langle v,-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle =\left\langle v,-v\right\rangle +\left\langle v,-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle =1-1=0\,,$

   so dass diese Vektoren orthogonal zueinander sind. Somit gehört ${}v_{BC}$ zur Raumkomponente zu ${}B$.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle v_{BC},v_{BC}\right\rangle &=\left\langle -v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w,-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle \\&=\left\langle v+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w,v+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +2{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\left\langle v,w\right\rangle }}+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}.\end{aligned}}$

   Nach Teil (1) (oder nach Fakt  (3)) ist dieser Ausdruck nichtnegativ. Die Quadratwurzel davon ist die Relativgeschwindigkeit ${}\rho$.
3. Dies folgt direkt aus der Definition

   ${}\rho ={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,$

   durch eine einfache Umstellung, wenn man berücksichtigt, dass

   ${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,$

   ist.

4. Aus

   ${}v_{BC}=-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\,$

   und (3) ergibt sich

   ${}w=-\left\langle v,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle v_{BC}={\frac {v}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}+{\frac {v_{BC}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,.$

   Nach Teil (1) gehört ${}v_{BC}$ zur Raumkomponente zu ${}B$.

5. Aus (4) ist direkt ablesbar, dass der Zeitkoeffizient von ${}w$ bezüglich ${}B$ gleich ${}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$ ist.

Zur bewiesenen Aussage