Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

wobei man die Koeffizientenfunktionen als die -Minoren der Matrix

interpretieren sollte. Die Jacobi-Matrix ist

Im Nullpunkt liegt die Nullmatrix vor und somit liegt dort jedenfalls eine Singularität vor. Sei ein Punkt mit . Dann zeigt die Untermatrix aus der ersten und dritten Zeile und der vorletzten und letzten Spalte, dass der Rang zumindest ist. Wenn nicht zum Nullstellenmenge gehört, so ist beispielsweise

Doch dann ist auch die Determinante der Untermatrix bestehend aus der und Spalte nicht und es liegt Rang vor. Dies gilt in allen Punkten außerhalb des Nullstellengebildes, d.h. nach dem Satz über implizite Abbildungen sind die anderen Fasern glatt und haben die Dimension . In einem Punkt der Nullfaser, der nicht der Nullpunkt ist, ist der Rang der Jacobi-Matrix genau . Beispielsweise ist die Determinante der eben erwähnten Untermatrix gleich , und da steckt eine definierende Gleichung als Faktor drin.

Welche Dimension besitzt die Nullfaser, also die Nullstellenmenge

und ist sie außerhalb des Nullpunktes glatt? Diese Nullstellenmenge umfasst unmittelbar die Nullstellenmengen und , was beides zwei affine Räume sind. Daher liegt zumindest die Dimension vor. Da die anderen Fasern dreidimensional sind und da das Nullstellengebilde durch drei Funktionen beschrieben wird, könnte man ebenfalls Dimension erwarten (drei algebraische Bedingungen für sechs Variablen). Es liegen aber zwischen den drei definierenden Gleichungen die Beziehungen

und

vor, sie sind also nicht „unabhängig“. Als Zwischenschritt betrachten wir das Nullstellengebilde, das von den ersten beiden Gleichungen definiert wird, also

Für einen Punkt

muss wegen den oben formulierten Beziehungen auch

gelten. Bei muss somit

gelten. Daher gilt

Die Jacobi-Matrix zur Abbildung

ist

woran man direkt ablesen kann, dass für Punkte außerhalb von der Rang gleich ist und damit wieder nach dem Satz über implizite Abbildungen ein glatter Punkt vorliegt und diese Nullstellenmenge vierdimensional ist. Daraus folgt, dass die ursprüngliche Nullstellenmenge eine offene Teilmenge, nämlich

(eingeschränkt auf diese Menge) enthält, auf der die Menge die Dimension besitzt. Wegen der Symmetrie der Situation liegt dies in jedem Punkt außer eventuell dem Nullpunkt vor (ein Extremfall könnte sein, dass der Nullpunkt ein isolierter Punkt der Nullstellenmenge ist, der mit dieser gar nichts zu tun hat). Man kann aber zeigen, dass das Ideal

ein Primideal ist, siehe Aufgabe.