Minorenringe/Realisierung als Invariantenring/Beispiel

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Es sei ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

wobei eine -Matrix und eine -Matrix ist. Es gibt also insgesamt Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu setzen wir

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen

kann man einfach invariante Polynome aus angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix , also die Ausdrücke der Form

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung

welche sich direkt aus

ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring heranzieht und die surjektive Abbildung

betrachtet, so wird der Kern von durch sämtliche -Minoren der Variablenmatrix erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.

Wenn beispielsweise ist, so gibt es die Variablen und und es ist

Zwischen den bestehen die Relationen

d.h.

Diese Relationen sind die -Minoren der Matrix . In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.