Minorenringe/Realisierung als Invariantenring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

(B,C),

wobei ${}B$ eine ${}m\times n$ -Matrix und ${}C$ eine ${}n\times k$ -Matrix ist. Es gibt also insgesamt ${}n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu ${}A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ setzen wir

{}A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

{}{\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen

X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{  und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}

kann man einfach invariante Polynome aus ${}R=K[X,Y]$ angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix ${}XY$ , also die Ausdrücke der Form

{}F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung

\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC,

welche sich direkt aus

{}\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,

ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den ${}F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring ${}K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$ heranzieht und die surjektive Abbildung

\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},

betrachtet, so wird der Kern von ${}\pi$ durch sämtliche ${}n+1$ -Minoren der Variablenmatrix ${}W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.