Modallogik/K/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Nach der Nezessisierungsregel gilt

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$

und nach dem ${}K$-Axiom gilt

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow {\left(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta \right)}.$

Durch Modus ponens ergibt sich

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$

(2). Aus

$\vdash \alpha \rightarrow \beta$

folgt durch Kontraposition zunächst

$\vdash \neg \beta \rightarrow \neg \alpha$

und daraus nach Teil (1)

$\vdash \Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha$

Erneutes kontraponieren ergibt

$\vdash \neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,$

was

$\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta$

bedeutet.

(3). Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$

ergibt sich aus (1) direkt

$\vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .$

(4). Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$

ergibt sich mit (1) zunächst

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta ).$

Aufgrund des ${}K$-Axioms gilt

$\vdash \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )\rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )).$

Der Kettenschluss liefert

$\vdash \Box \alpha \rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )),$

was aussagenlogisch äquivalent zu

$\vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )$

ist.

(5) ergibt sich aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \leftrightarrow \neg \neg \alpha$

und Teil (1).

Zur bewiesenen Aussage