Modallogik/K/Phantasiearmutsaxiom und K-Umkehrung/Fakt/Beweis

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Beweis

Von (1) nach (2). Aus den aussagenlogischen Tautologien

und

ergeben sich mit Fakt  (1) die Ableitungen

und

Das Phantasiearmutsaxiom liefert

und über den Kettenschluss

Daher gilt

was eben

bedeutet.

Von (2) nach (1). Aus der aussagenlogischen Tautologie

ergibt sich mit Fakt  (1) direkt

Die Umkehrung des -Axioms mit liefert

Eine einfache aussagenlogische Überlegung zeigt ferner

Der doppelte Kettenschluss liefert

Da diese Beziehung für jedes gilt, gilt es nach Fakt  (5) überhaupt für jede Aussage.

Aus (1) folgt (3). Das -Axiom liefert

und das Phantasiearmutsaxiom liefert

Dies zusammen ergibt

Wir schreiben dies als

Durch Kontraposition bedeutet dies

Von (3) nach (1). Wir betrachten den Spezialfall

Durch Kontraposition ist dies

und durch eine aussagenlogische Umstellung

Aus der aussagenlogischen Tautologie

folgt mit der Nezessisierungsregel

und somit

mit Modus ponens. Dies bedeutet