Modallogik/System/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der modallogischen Sprache, und zwar gleichzeitig für alle Welten. Für Aussagenvariablen gilt die Behauptung unmittelbar aufgrund der festgelegten Belegung. Die Äquivalenz ist auch unter aussagenlogischen Konstruktionen abgeschlossen, da die ${}W$ unter ${}K$-Ableitungen abgeschlossen sind. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich die Äquivalenz bei modallogischen Operationen erhält, wobei wir mit dem Möglichkeitsoperator ${}\Diamond$ arbeiten. Es sei also ${}\Diamond \alpha$ gegeben, wobei die Äquivalenz für ${}\alpha$ und für alle Welten gelte. Wenn ${}W\vDash \Diamond \alpha$ gilt, so gibt es eine Welt ${}V\in U_{\Gamma }$ mit ${}WRV$ und ${}V\vDash \alpha$. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt ${}\alpha \in V$. Wegen der Definition der Erreichbarkeitsrelation bedeutet dies insbesondere ${}\Diamond \alpha \in W$. Es sei umgekehrt ${}\Diamond \alpha \in W$. Dann folgt aus Fakt die Existenz einer von ${}W$ aus erreichbaren ${}\Gamma$-Welt ${}V$ mit ${}\alpha \in V$, also nach Induktionsvoraussetzung ${}V\vDash \alpha$ und somit ${}W\vDash \Diamond \alpha$.

Zur bewiesenen Aussage