Modell/Termgleichheit/Gültigkeitsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Es ist ${}s\sim t$ genau dann, wenn ${}s=t\in \Gamma =I^{\vDash }$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}I\vDash s=t$ gilt, was nach Definition ${}I(s)=I(t)$ bedeutet.
2. Die Termabbildung

   $I\colon T\longrightarrow N,\,t\longmapsto I(t),$

   besitzt nach Teil (1) die Eigenschaft, dass äquivalente Terme auf das gleiche Element abgebildet werden. Dies bedeutet nach Fakt, dass es eine Abbildung

   $\psi \colon T/\sim \longrightarrow N$

   mit ${}\psi ([t])=I(t)$ gibt. Da nichtäquivalente Terme nach Teil (1) unter ${}I$ auf verschiedene Elemente abgebildet werden, werden verschiedene Klassen unter ${}\psi$ auf verschiedene Elemente abgebildet und somit ist ${}\psi$ injektiv.

3. Sei

   ${}M=T/\sim \,.$

   Für eine Konstante ${}c\in T$ ist

   ${}\psi (c^{M})=\psi ([c])=I(c)=c^{N}\,.$

   Für ein ${}n$-stelliges Funktionssymbol ${}f$ und ${}n$ Termklassen ${}[t_{1}],\ldots ,[t_{n}]$ ist

   ${}{\begin{aligned}\psi (f^{M}([t_{1}],\ldots ,[t_{n}]))&=\psi ([ft_{1}\ldots t_{n}])\\&=I(ft_{1}\ldots t_{n})\\&=f^{N}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\\&=f^{N}(\psi ([t_{1}]),\ldots ,\psi ([t_{n}])).\end{aligned}}$

   Es sei nun eine ${}n$-stellige Relation ${}R$ und ${}n$ Termklassen ${}[t_{1}],\ldots ,[t_{n}]$ gegeben und sei die Gültigkeit von ${}R^{M}[t_{1}],\ldots ,[t_{n}]$ in ${}M$ vorausgesetzt. Dies bedeutet, dass ${}Rt_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma =I^{\vDash }$ ist. Somit ist ${}I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, was ${}R^{N}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ bedeutet. Somit ist ${}R^{N}(\psi ([t_{1}]),\ldots ,\psi ([t_{n}]))$. Es liegt also ein ${}S$-Homomorphismus vor.

4. Nach Definition von ${}\Gamma$ ist ${}\alpha \in \Gamma$ genau dann, wenn ${}I\vDash \alpha$ gilt. Nach Fakt ist ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei und enthält Beispiele und nach dem Satz von Henkin ist

   ${}\Gamma =J^{\vDash }\,.$

Zur gelösten Aufgabe