Modell/Termgleichheit/Gültigkeitsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Es ist $s \sim t$ genau dann, wenn $s = t \in Γ = I^{⊨}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn $I ⊨ s = t$ gilt, was nach Definition $I (s) = I (t)$ bedeutet.
Die Termabbildung
$I : T ⟶ N, t ⟼ I (t),$

besitzt nach Teil (1) die Eigenschaft, dass äquivalente Terme auf das gleiche Element abgebildet werden. Dies bedeutet nach Fakt, dass es eine Abbildung

$ψ : T / \sim ⟶ N$

mit $ψ ([t]) = I (t)$ gibt. Da nichtäquivalente Terme nach Teil (1) unter $I$ auf verschiedene Elemente abgebildet werden, werden verschiedene Klassen unter $ψ$ auf verschiedene Elemente abgebildet und somit ist $ψ$ injektiv.
Sei
$M = T / \sim .$

Für eine Konstante $c \in T$ ist

$ψ (c^{M}) = ψ ([c]) = I (c) = c^{N} .$

Für ein $n$ -stelliges Funktionssymbol $f$ und $n$ Termklassen $[t_{1}], \dots, [t_{n}]$ ist

$\begin{matrix} ψ (f^{M} ([t_{1}], \dots, [t_{n}])) & = ψ ([f t_{1} \dots t_{n}]) \\ = I (f t_{1} \dots t_{n}) \\ = f^{N} (I (t_{1}), \dots, I (t_{n})) \\ = f^{N} (ψ ([t_{1}]), \dots, ψ ([t_{n}])) . \end{matrix}$

Es sei nun eine $n$ -stellige Relation $R$ und $n$ Termklassen $[t_{1}], \dots, [t_{n}]$ gegeben und sei die Gültigkeit von $R^{M} [t_{1}], \dots, [t_{n}]$ in $M$ vorausgesetzt. Dies bedeutet, dass $R t_{1} \dots t_{n} \in Γ = I^{⊨}$ ist. Somit ist $I ⊨ R t_{1} \dots t_{n}$ , was $R^{N} (I (t_{1}), \dots, I (t_{n}))$ bedeutet. Somit ist $R^{N} (ψ ([t_{1}]), \dots, ψ ([t_{n}]))$ . Es liegt also ein $S$ -Homomorphismus vor.
Nach Definition von $Γ$ ist $α \in Γ$ genau dann, wenn $I ⊨ α$ gilt. Nach Fakt ist $Γ$ maximal widerspruchsfrei und enthält Beispiele und nach dem Satz von Henkin ist
$Γ = J^{⊨} .$

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