Modell/Termgleichheit/Gültigkeitsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^S$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Es sei $I$ eine $S$-Interpretation mit der Grundmenge $N$ und es sei  $\Gamma :=I^{\models }$  mit der zugehörigen Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Termmenge $T$.

1. Zeige, dass  $s\sim t$  genau dann gilt, wenn  $I(s)=I(t)$  gilt.
2. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   $\psi :T/\sim ⟶N$

   mit

   $\psi ([t])=I(t)$

   gibt.

3. Zeige, dass $\psi$ ein $S$-Homomorphismus ist, wenn die Quotientenmenge $T/\sim$ mit der kanonischen $S$-Struktur versehen wird.
4. Es sei $J$ die kanonische Interpretation auf $T/\sim$. Es sei vorausgesetzt, dass die Terminterpretation für $N$ surjektiv sei. Zeige, dass $I\models \alpha$ genau dann gilt, wenn $J\models \alpha$ gilt.

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