Modell/Termgleichheit/Gültigkeitsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Es sei ${}I$ eine ${}S$-Interpretation mit der Grundmenge ${}N$ und es sei ${}\Gamma :=I^{\vDash }$ mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf der Termmenge ${}T$.

1. Zeige, dass ${}s\sim t$ genau dann gilt, wenn ${}I(s)=I(t)$ gilt.
2. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   $\psi \colon T/\sim \longrightarrow N$

   mit

   ${}\psi ([t])=I(t)\,$

   gibt.

3. Zeige, dass ${}\psi$ ein ${}S$-Homomorphismus ist, wenn die Quotientenmenge ${}T/\sim$ mit der kanonischen ${}S$-Struktur versehen wird.
4. Es sei ${}J$ die kanonische Interpretation auf ${}T/\sim$. Es sei vorausgesetzt, dass die Terminterpretation für ${}N$ surjektiv sei. Zeige, dass ${}I\vDash \alpha$ genau dann gilt, wenn ${}J\vDash \alpha$ gilt.

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