Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Exakte Sequenz/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul.

Dann ist der freie Rang von ${}M$ gleich der ${}K$-Dimension des Quotienten ${}Q$ in der kurzen exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\longrightarrow Q\longrightarrow 0.$

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