Moduln/Linksexakt/Hom linksexakt/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildungen sind ${}R$-Modulhomomorphismen, zum Nachweis der Injektivität von

$\operatorname {Hom} {\left(M,A\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,B\right)}$

können wir also das Kernkriterium verwenden. Wenn aber ${}\varphi \colon M\rightarrow A$ nicht die Nullabbildung ist, so ist auch ${}M\rightarrow A\subseteq B$ nicht die Nullabblidung. Es sei nun ${}\psi \colon M\rightarrow B$ derart, dass die Verknüpfung ${}M\rightarrow B\rightarrow C$ die Nullabbildung ist. Dann landet ${}\psi$ im Kern der Abbildung von ${}B$ nach ${}C$, also in ${}A$, und daher rührt ${}\psi$ von einer Abbildung von ${}M$ nach ${}A$ her.

Zur bewiesenen Aussage