Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, seien ${}R$-Moduln mit fixierten ${}R$-Modulhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow M_{i+1}.$

Die Sequenz

$\ldots \longrightarrow M_{i}\longrightarrow M_{i+1}\longrightarrow M_{i+2}\longrightarrow M_{i+3}\longrightarrow \ldots$

heißt exakt, wenn für alle ${}i$ gilt, dass ${}\operatorname {Kern} \,(\varphi _{i})=\operatorname {Bild} \,(\varphi _{i-1})$ ist.

1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition übereinstimmt.
2. Sei nun ${}R=K$ ein Körper, die ${}M_{i}$ seien endlich erzeugt, ${}M_{0}=0$ und alle ${}M_{i}=0$ für ${}i\geq n$ für ein gewisses ${}n$. Zeige, dass

   ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {dim} _{K}M_{i}=0\,.$

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