Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M_i$,  $i\in \mathbb{N}$,  seien $R$-Moduln mit fixierten $R$-Modulhomomorphismen

${\phi }_i:M_i⟶M_{i+1}.$

Die Sequenz

$\dots ⟶M_i⟶M_{i+1}⟶M_{i+2}⟶M_{i+3}⟶\dots$

heißt exakt, wenn für alle $i$ gilt, dass  $\mathrm{Kern}({\phi }_i)=\mathrm{Bild}({\phi }_{i-1})$  ist.

1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition übereinstimmt.
2. Es sei nun  $R=K$  ein Körper, die $M_i$ seien endlich erzeugt,  $M_0=0$  und alle  $M_i=0$  für  $i\ge n$  für ein gewisses $n$. Zeige, dass

   $\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{\dim }_K{M}_i=0.$

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