Es sei
ein
kommutativer Ring
und
,
, seien
-Moduln mit fixierten
-Modulhomomorphismen
-
Die Sequenz
-
heißt exakt, wenn für alle
gilt, dass
ist.
- Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der
Definition
übereinstimmt.
- Es sei nun
ein Körper, die
seien endlich erzeugt,
und alle
für
für ein gewisses
. Zeige, dass
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {dim} _{K}M_{i}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c352af0c296f0819abb9ccaaf8d17fc8fd4e75b1)