Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Hom-Funktoren/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M,N$ ${}R$ -Moduln. Ist

f\colon M\longrightarrow N

f^{\ast }\colon \operatorname {Hom} \,(N,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(M,R),\,\varphi \longmapsto \varphi \circ f,

auch ein ${}R$ -Modulhomomorphismus.

Es sei nun ${}0\to M\to N\to P\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von ${}R$ -Moduln.

Zeige, dass dann die induzierte Sequenz

0\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(P,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(N,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(M,R)

exakt ist. Man gebe auch ein Beispiel mit ${}R=\mathbb {Z}$ , das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist.