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Elementarteilersatz (euklidisch)

Es sei ${}A$ ein euklidischer Bereich und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}A$. Es sei ${}k={\min {\left(m,n\right)}}$ das Minimum von ${}m$ und ${}n$.

Dann gibt es eine Darstellung

$M=L_{1}\cdots L_{p}\cdot D\cdot R_{q}\cdots R_{1}$

mit invertierbaren ${}A$-Elementarmatrizen ${}L_{1},\ldots ,L_{p}$ und ${}R_{1},\ldots ,R_{q}$ und einer Diagonalmatrix ${}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})$.

Es gibt ein ${}s$ mit ${}0\leq s\leq k$ und folgender Eigenschaft: Für ${}i<s$ teilt ${}n_{i}$ jeweils ${}n_{i+1}$ und für ${}i>s$ gilt ${}n_{i}=0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen