Modultheorie/Modul/Definition

Modul

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Linksmodul, wenn es eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

gibt, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in R$ und ${}u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}1u=u$,
3. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
4. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$.

Auf entsprechende Weise definiert man durch Operation von Rechts einen Rechtsmodul. Wenn klar ist was gemeint ist wird auch einfach von einem Modul gesprochen - insbesondere, da sich jeder Rechtsmodul durch ein Linksmodul über dem gespiegelten Ring simulieren lässt.