Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt

Elementarteilersatz

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}\mathbb {Z}$. Es sei ${}k={\min {\left(m,n\right)}}$ das Minimum von ${}m$ und ${}n$ und ${}s=\operatorname {rang} \,M$ der Rang von ${}M$.

Dann gibt es eine Darstellung

$M=L_{1}\cdots L_{p}\cdot D\cdot R_{q}\cdots R_{1}$

mit invertierbaren ${}\mathbb {Z}$-Elementarmatrizen ${}L_{1},\ldots ,L_{p}$ und ${}R_{1},\ldots ,R_{q}$ und einer Diagonalmatrix ${}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})$.

Für ${}i<s$ (kleiner als der Rang von M) teilt ${}n_{i}$ jeweils ${}n_{i+1}$ und für ${}i>s$ gilt ${}n_{i}=0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen