Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe/Kommentar

Hier sollte man sich zunächst klar machen, worum es überhaupt geht. Man hat einerseits ein Monoid ${}M$ mit einer Verknüpfung ${}\cdot$ und einem neutralen Element. Andererseits hat man nach Beispiel das Abbildungsmonoid ist ${}N=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}$, mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und der Identität ${}\operatorname {Id} _{M}$ auf ${}M$ als neutrales Element. Dies hängt nur von der Menge ${}M$, aber nicht von der Verknüpfung des Monoids ab.

Betrachten wir beispielsweise ${}M=(\mathbb {N} ,+,0)$. Das Abbildungsmonoid zu ${}\mathbb {N}$ besteht aus allen möglichen Abbildungen von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {N}$, das ist riesengroß und die allermeisten haben nichts mit der Addition auf den natürlichen Zahlen zu tun. Der Punkt der Aufgabe ist, dass dennoch jedes Element des Monoids eine Abbildung des Monoids in sich festlegt. Im Beispiel der natürlichen Zahlen mit der Addition legt etwa ${}5\in \mathbb {N}$ die Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto 5+n$

fest. Man betrachtet also einfach die Wirkungsweise eines Elements auf alle anderen Elemente. Wenn man stattdessen ${}(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$, also mit der Multiplikation, betrachtet, so ist die zugehörige Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto 5\cdot n.$

Es geht also immer um die Gesamtabbildung

$M\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,x\longmapsto (z\mapsto x\cdot z),$

einem jeden Element aus ${}M$ wird eine Abbildung zugeordnet, die die Verknüpfung mit diesem Element ist. Diese Abbildung nennen wir ${}\lambda _{x}$. Wenn man sich dies klar gemacht hat, ist der Nachweis einfach.

Zu zeigen sind also die folgenden Aussagen:

1. ${}\lambda _{1}=\operatorname {Id} _{M}$,
2. ${}\lambda _{x\cdot y}=\lambda _{x}\circ \lambda _{y}$ für alle ${}x,y\in M$,
3. für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in M$ sind auch ${}\lambda _{x}$ und ${}\lambda _{y}$ verschieden.

Die 1. Aussage ist klar. Die 2. Aussage ergibt sich aus

$\lambda _{x\cdot y}(z)=(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)=x\cdot \lambda _{y}(z)=\lambda _{x}(\lambda _{y}(z))=\lambda _{x}\circ \lambda _{y}(z)$

für alle ${}z\in M$. Für die letzte Aussage beachtet man, dass

$\lambda _{x}(1)=x\neq y=\lambda _{y}(1),$

also ${}\lambda _{x}\neq \lambda _{y}$.

Die Gesamtaussage bedeutet, dass jedes Monoid ein Untermonoid eines Abbildungsmonoides ist. In einem gewissen Sinne gilt deshalb: Wenn man die Abbildungsmonoide versteht, so versteht man alle Monoide.

Zur kommentierten Aufgabe