Monoidring/A 1/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Beispiel

Auf dem durch

${}XY=Z^{2}\,$

gegebenen Monoidring ${}R$ wird der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R/K}$ durch die Differentiale ${}dx,dy,dz$ erzeugt mit der einzigen Relation

${}xdy+ydx=2zdz\,.$

Wegen

${}{\begin{aligned}{\frac {z}{x}}dx&={\frac {zy}{z^{2}}}dx\\&={\frac {y}{z}}dx\\&={\frac {1}{z}}{\left(-xdy+2zdz\right)}\\&=-{\frac {x}{z}}dy+2dz\\&=-{\frac {xz}{z^{2}}}dy+2dz\\&=-{\frac {z}{y}}dy+2dz\end{aligned}}$

kann man die rationale Differentialform ${}{\frac {z}{x}}dx$ mit Nenner ${}x$ und mit Nenner ${}y$ schreiben, es handelt sich also um eine Differentialform, die auf dem punktierten Spektrum ${}D(x,y)$ definiert ist, also um eine Zariski-Differentialform. Dies ist keine Kähler-Differentialform, wie man auf ${}R_{x}$ sieht. Es ist ${}R_{x}=K[x,x^{-1},z]$ mit

${}y={\frac {z^{2}}{x}}\,$

und der Modul der Kähler-Differentiale ist

${}\Omega _{R_{x}/K}=R_{x}dx\oplus R_{x}dz\,.$

Der globale Modul der Kähler-Differentiale ist darin gleich dem von ${}dx,dz$ und

${}dy=d{\left({\frac {z^{2}}{x}}\right)}=-{\frac {z^{2}}{x^{2}}}dx+2{\frac {z}{x}}dz\,$

erzeugten ${}R$-Untermodul, wozu ${}{\frac {z}{x}}dx$ nicht gehört.

Wenn man mit der gleichen Operation arbeitet, aber

$X=V^{2}-U^{2},\,Y=2UV,\,Z={\mathrm {i} }{\left(U^{2}+V^{2}\right)}$

als erzeugende Invarianten nimmt, so erhält man (indische Formeln) die Relation

${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,.$