Monoidring/Eindimensionales Potenzieren/Keine Berechnung der Fundamentalgruppe/Beispiel

Zum Restklassenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

ist der Kern durch ${}\Gamma =\mathbb {Z} \ell$ gegeben. Die zugehörige Operation ist die von ${}\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt ${}0$ bzw. fixpunktfrei auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$. Die Quotientenabbildung ist durch das ${}\ell$-te Potenzieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{\ell },$

gegeben. Die Fundamentalgruppe von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ ist bekanntlich ${}\mathbb {Z}$. Hier kann man Fakt nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich ${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nicht einfach zusammenhängend ist.