Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei ${}D$ eine kommutative endliche Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  ${}n\geq 2$.  Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als ${}D$-Graduierung auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe  ${}G=D^{\vee }$  auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auf. Es sei ${}\Gamma$ der Kern von ${}\delta$,  ${}M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}$  das zugehörige Monoid und

${}{\mathbb {C} }[M]\subseteq {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene ${}G$-invariante Teilmenge  ${}T\subset {\mathbb {C} }^{n}$  derart gegeben, dass ${}T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass ${}T$ mindestens die Kodimension ${}2$ besitzt und dass die induzierte Operation von ${}G$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Fundamentalgruppe von

   ${}Y\setminus q(T)={\left({\mathbb {C} }^{n}\setminus T\right)}/G\,$

   ist ${}G$.

2. Die zu  ${}\gamma \in \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)$  gehörende Abbildung

   $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }[\Gamma ]\right)}_{\mathbb {C} }\cong {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}\subseteq Y\setminus q(T),\,t\longmapsto (t^{\gamma (u_{1})},\ldots ,t^{\gamma (u_{n})}),$

   (${}u_{j}$ sei eine Basis von ${}\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{n}$) ergibt durch Einschränkung auf  ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$  einen stetigen geschlossenen Weg

   $[0,2\pi ]\longrightarrow Y\setminus q(T).$

3. Es sei  ${}m\in \mathbb {N} _{+}$  derart, dass  ${}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma$  ist. Die Liftung des Weges aus (2) nach ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ mit dem Anfangspunkt ${}(1,\ldots ,1)$ ist durch

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}\setminus T,\,s\longmapsto \left(e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{1})}{m}},\,\ldots ,\,e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{n})}{m}}\right),$

   gegeben. Der Weg ${}\gamma ^{*}{|}_{S^{1}}$ repräsentiert das nach Fakt zu ${}\gamma$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe ${}G$.

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