Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei ${}D$ eine kommutative endliche Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}n\geq 2$. Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als ${}D$-Graduierung auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auf. Es sei ${}\Gamma$ der Kern von ${}\delta$, ${}M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}$ das zugehörige Monoid und

${}{\mathbb {C} }[M]\subseteq {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene ${}G$-invariante Teilmenge ${}T\subset {\mathbb {C} }^{n}$ derart gegeben, dass ${}T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass ${}T$ mindestens die Kodimension ${}2$ besitzt und dass die induzierte Operation von ${}G$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Fundamentalgruppe von

   ${}Y\setminus q(T)={\left({\mathbb {C} }^{n}\setminus T\right)}/G\,$

   ist ${}G$.

2. Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma$ ist. Die Zuordnung

   $F\colon \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},{\mathbb {C} }^{\times }\right),\,\gamma \longmapsto F(\gamma )={\left(e_{j}\mapsto e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\right)},$

   induziert einen Gruppenisomorphismus

   $\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G.$

3. Die zu ${}\gamma \in \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)$ gehörende Abbildung

   $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}\subseteq Y\setminus q(T),\,t\longmapsto (t^{\gamma (u_{1})},\ldots ,t^{\gamma (u_{n})}),$

   (${}u_{j}$ sei eine Basis von $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{n}$) ergibt durch Einschränkung auf ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen stetigen geschlossenen Weg

   $[0,2\pi ]\longrightarrow Y\setminus q(T).$

4. Die Liftung des Weges aus (3) nach ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ mit dem Anfangspunkt ${}(1,\ldots ,1)$ ist durch

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}\setminus T,\,s\longmapsto \left(e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{1})}{m}},\,\ldots ,\,e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{n})}{m}}\right),$

   gegeben. Der Weg ${}\gamma ^{*}{|}_{S^{1}}$ repräsentiert das nach (2) zu ${}\gamma$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe ${}G$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen