Monomiale Kurve/Affin/Restklassenbeschreibung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}M\subseteq N$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$.

Dann wird das Kernideal durch

$\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$

(mit $r_{i},s_{i}\geq 1$) beschrieben.

Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

${}\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$

Für die Umkehrung sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit ${}\varphi (F)=0$. Wir schreiben

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$

(mit $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist

${}\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$

Da dieses Polynom gleich ${}0$ ist müssen alle Koeffizienten ${}0$ sein, d.h. zu jedem ${}k$ gehört auch

${}F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in ${}F$ nur Monome ${}X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert ${}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus ${}F$, sagen wir ${}X^{\nu }$ (mit $a_{\nu }\neq 0$). Es muss in ${}F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir ${}X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf ${}0$ abgebildet wird. Wir schreiben

${}F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$

Im Summand rechts kommt ${}X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In ${}X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

${}X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$

mit disjunkten ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ und mit ${}\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von ${}F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennmt man binomiale Gleichungen. Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart ($i\neq j$)

${}X_{i}^{e_{j}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}=X_{j}^{e_{i}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}\,.$

Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.

Korollar

Es sei ${}C$ die durch ${}t\mapsto (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ (mit ${}e_{1},e_{2}$ teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.

Dann ist

${}C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})\,.$

Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.

$\Box$

Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.

Beispiel

Es sei ${}C\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch ${}t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Fakt gleich

${}{\mathfrak {a}}=(Y-X^{2},Z-X^{3},Y^{3}-Z^{2},Z-XY)=(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also

${}C=V(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die Bilder von ${}C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind

$C_{1}=V(Z^{2}-Y^{3}),\,C_{2}=V(Z-X^{3}),\,C_{3}=V(Y-X^{2}).$

Dabei sind ${}C_{2}$ und ${}C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während ${}C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.

Beispiel

Es sei ${}C$ die durch

$t\longmapsto (t^{3},t^{4},t^{5})=(x,y,z)$

gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Fakt schauen, welche Potenzen davon, wenn man die ${}t$-Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.

Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind

$Y^{3}=X^{4},\,Z^{3}=X^{5},\,Z^{4}=Y^{5}.$

Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.

In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit ${}X$. Zunächst lassen sich ${}X$ und ${}X^{2}$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir ${}X^{3}=T^{9}=YZ$. Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung ${}X^{k}=Y^{i}Z^{j}=Y^{a}Z^{b}$, dass man zwischen Potenzen von ${}Y$ und von ${}Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von ${}X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für ${}X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich ${}X^{k}=Y^{i}Z^{j}$, so ist ${}k\geq 3$. Bei ${}i=0$ oder ${}j=0$ haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also ${}i,j\geq 1$. Dann kann man aber mittels der Gleichung ${}X^{3}=YZ$ die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von ${}X$ um ${}3$ reduziert und die Exponenten von ${}Y$ und von ${}Z$ um ${}1$).

Für ${}Y$ hat man sofort die Gleichung ${}Y^{2}=ZX$, mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.

Für ${}Z$ hat man ${}Z^{2}=X^{2}Y$ und ${}Z^{3}=XY^{3}$. Es gibt keine kleineren Monome in ${}X$ und ${}Y$, die man als Potenz von ${}Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.

Insgesamt haben wir also für die Kurve ${}C$ die Gleichungen

$C=V(Y^{3}-X^{4},Z^{3}-X^{5},Z^{4}-Y^{5},X^{3}-YZ,Y^{2}-XZ,Z^{2}-X^{2}Y,Z^{3}-XY^{3})$