Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung kann man nach Bemerkung als die natürliche Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,K)\longrightarrow \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$

auffassen, die durch die Inklusion von Monoiden ${}M\subseteq \mathbb {N}$ induziert ist. Zur Injektivität seien ${}a,b\in K$ gegeben und sei angenommen, dass für alle ${}m\in M$ gilt: ${}a^{m}=b^{m}$. Bei ${}b=0$ folgt sofort ${}a=0$, sei also ${}b\neq 0$, was ${}a\neq 0$ nach sich zieht. Da es für ${}M$ ein teilerfremdes Erzeugendensystem gibt, gehören nach Fakt ab einem gewissen ${}f$ alle natürlichen Zahlen zu ${}M$. Es ist also insbesondere ${}a^{f}=b^{f}$ und ${}a^{f+1}=b^{f+1}$. Damit ist

${}a={\frac {a^{f+1}}{a^{f}}}={\frac {b^{f+1}}{b^{f}}}=b\,.$

Zur Surjektivität. Es sei ein Monoidhomomorphismus ${}\varpi \colon M\rightarrow K$ gegeben, und wir müssen ihn zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz ${}\mathbb {N}$ fortsetzen. Es sei ${}\varphi (e_{i})=a_{i}\in K$. Zwischen diesen Werten gilt die Beziehung

${}a_{j}^{e_{i}}=\varphi (e_{j})^{e_{i}}=\varphi (e_{i}e_{j})=\varphi (e_{i})^{e_{j}}=a_{i}^{e_{j}}\,.$

Wenn eines der ${}a_{i}=0$ ist, so müssen alle ${}=0$ sein und die Nullabbildung ist eine Fortsetzung. Wir können also annehmen, dass alle ${}a_{i}$ Einheiten sind. Wegen der Teilerfremdheit der ${}e_{i}$ gibt es eine Darstellung der Eins, d.h. es gibt ganze Zahlen ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ mit ${}m_{1}e_{1}+\cdots +m_{n}e_{n}=1$. Wir behaupten, dass durch ${}1\mapsto a=a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{n}^{m_{n}}$ eine Fortsetzung auf ${}\mathbb {N}$ gegeben ist. Dazu müssen wir zeigen, dass der durch ${}1\mapsto a$ (also $k\mapsto a^{k}$) definierte Monoidhomomorphismus mit ${}\varphi$ übereinstimmt, was man nur für die ${}e_{i}$ überprüfen muss. Betrachten wir also ${}e_{1}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}a^{e_{1}}&=(a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{n}^{m_{n}})^{e_{1}}\\&=a_{1}^{e_{1}m_{1}}\cdot a_{2}^{e_{1}m_{2}}\cdots a_{n}^{e_{1}m_{n}}\\&=a_{1}^{1-\sum _{i=2}^{n}m_{i}e_{i}}(a_{2}^{e_{1}m_{2}}\cdots a_{n}^{e_{1}m_{n}})\\&=a_{1}\cdot (a_{1}^{-m_{2}e_{2}}a_{2}^{e_{1}m_{2}})\cdots (a_{1}^{-m_{n}e_{n}}a_{n}^{e_{1}m_{n}})\\&=a_{1}\cdot (a_{1}^{-e_{2}}a_{2}^{e_{1}})^{m_{2}}\cdots (a_{1}^{-e_{n}}a_{n}^{e_{1}})^{m_{n}}\\&=a_{1},\end{aligned}}$

da die Faktoren rechts in der vorletzten Zeile alle gleich ${}1$ nach der Vorüberlegung (oberes Display) sind.

Zur bewiesenen Aussage