Wir betrachten die Nullstellenmenge
-
und bestimmen die
irreduziblen Komponenten
davon. Die -Achse ist eine Teilmenge von . Wegen
-
gehört auch das Produkt zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt
-
gilt also
oder
oder
.
Im ersten Fall ist auch
.
Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu
-
Bei
-
gehört der Punkt zur -Achse, anderfalls ist
-
Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit
-
hinzu. Somit ist
-
eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in und die erste und die dritte in treffen. Insbesondere ist eindimensional und zusammenhängend.
Wir betrachten nun die
Jacobi-Matrix,
diese ist
-
Diese hat in einem Punkt genau dann den
Rang
, wenn die zweite Zeile das -fache der ersten Zeile ist. Dann ist
und somit
oder
.
Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix
.
Bei
werden aber beide definierenden Gleichungen zu
,
sodass nur im Kreuzungspunkt eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall
führt entsprechend zur Singularität .