Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel

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Wir betrachten die Nullstellenmenge

und bestimmen die irreduziblen Komponenten davon. Die -Achse ist eine Teilmenge von . Wegen

gehört auch das Produkt zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt

gilt also oder oder . Im ersten Fall ist auch . Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu

Bei

gehört der Punkt zur -Achse, anderfalls ist

Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit

hinzu. Somit ist

eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in und die erste und die dritte in treffen. Insbesondere ist eindimensional und zusammenhängend.

Wir betrachten nun die Jacobi-Matrix, diese ist

Diese hat in einem Punkt genau dann den Rang , wenn die zweite Zeile das -fache der ersten Zeile ist. Dann ist und somit oder . Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix . Bei werden aber beide definierenden Gleichungen zu , so dass nur im Kreuzungspunkt eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall führt entsprechend zur Singularität .