Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über $n$. Für  $n=0$  wählt man  $k=0$  und  $r_0=0$.  Es sei nun  $n\ge 1$  und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Fakt mit  $d=10$  gibt es eine Darstellung

$n=q\cdot 10+r_0$

mit $r_0$ zwischen $0$ und $9$. Es ist  $q<n$,  deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für $q$. D.h. man kann

$q=\sum _{i=0}^{\ell }{s}_{i}10^i$

mit  $0\le s_i\le 9$  (bei $q=0$ ist dies als leere Summe zu lesen) und mit  $s_{\ell }\ne 0$  schreiben. Daher ist

$\begin{array}{cc}n& =q\cdot 10+r_0\\ & =\left(\sum _{i=0}^{\ell }{s}_{i}10^i\right)\cdot 10+r_0\\ & =\sum _{i=0}^{\ell }\left(s_{i}10^{i+1}\right)+r_0\\ & =\sum _{j=1}^{\ell +1}\left(s_{j-1}10^j\right)+r_0\end{array}$

eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist  $r_j=s_{j-1}$  für  $j\ge 1$  und  $k=\ell +1$. 
Die Eindeutigkeit folgt ebenfalls aus der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage