Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über . Für wählt man und . Sei nun und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Fakt mit gibt es eine Darstellung

mit zwischen und . Es ist , deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für . D.h. man kann

mit (bei ist dies als leere Summe zu lesen) und mit schreiben. Daher ist

eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist für und .
Die Eindeutigkeit folgt ebenfalls aus der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage