Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über ${}n$. Für  ${}n=0$  wählt man  ${}k=0$  und  ${}r_{0}=0$.  Es sei nun  ${}n\geq 1$  und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Fakt mit  ${}d=10$  gibt es eine Darstellung

${}n=q\cdot 10+r_{0}\,$

mit ${}r_{0}$ zwischen ${}0$ und ${}9$. Es ist  ${}q<n$,  deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für ${}q$. D.h. man kann

${}q=\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\,$

mit  ${}0\leq s_{i}\leq 9$  (bei $q=0$ ist dies als leere Summe zu lesen) und mit  ${}s_{\ell }\neq 0$  schreiben. Daher ist

${}{\begin{aligned}n&=q\cdot 10+r_{0}\\&={\left(\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\right)}\cdot 10+r_{0}\\&=\sum _{i=0}^{\ell }{\left(s_{i}10^{i+1}\right)}+r_{0}\\&=\sum _{j=1}^{\ell +1}{\left(s_{j-1}10^{j}\right)}+r_{0}\end{aligned}}$

eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist  ${}r_{j}=s_{j-1}$  für  ${}j\geq 1$  und  ${}k=\ell +1$. 
Die Eindeutigkeit folgt ebenfalls aus der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage