Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Beweis2

Beweis

Bei

${}k>\ell \,$

ist nach Fakt

${}m\geq 10^{\ell }>n\,.$

Sei also ${}k=\ell$. Es sei ${}s$ die größte Stelle, an der die Ziffern verschieden sind, d.h. es sei

$a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}\neq b_{s}.$

Aufgrund der Verträglichkeit der Ordnungsbeziehung mit der Addition können wir

$a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+a_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +a_{s+1}\cdot 10^{s+1}$

beidseitig abziehen, d.h. wir können annehmen, dass ${}k=\ell$ und ${}a_{k-1}\neq b_{k-1}$ ist und wir müssen zeigen, dass

${}m>n\,$

genau dann gilt, wenn

${}a_{k-1}>b_{k-1}\,$

ist. Hierbei müssen wir wegen der Symmetrie der Situation nur die Rückrichtung zeigen. Es ist

${}{\begin{aligned}m&=a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+a_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +a_{1}\cdot 10+a_{0}\\&\geq a_{k-1}\cdot 10^{k-1}\\&\geq {\left(b_{k-1}+1\right)}\cdot 10^{k-1}\\&=b_{k-1}\cdot 10^{k-1}+10^{k-1}\\&>b_{k-1}\cdot 10^{k-1}+b_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +b_{1}\cdot 10+b_{0}\\&=n,\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt wieder Fakt verwendet haben.

Zur bewiesenen Aussage