Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Addition erfüllt nach Fakt  (1, 2) diese Eigenschaften.

Es seien zwei Verknüpfungen und auf gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

für alle beweisen. Dies machen wir durch Induktion über (für beliebige ). Bei

ist wegen

die Aussage richtig. Sei die Aussage nun für ein bestimmtes schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung

Zur bewiesenen Aussage