Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}n$. Bei  ${}n=0$  ist  ${}0\cdot k=0$  nach Fakt  (1). Also ist

${}0=m\cdot k\,$

und wegen  ${}k\neq 0$  folgt mit Fakt daraus  ${}m=0=n$.  Es sei die Aussage für ein ${}n$ (und beliebige ${}k\neq 0$ und ${}m$) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger ${}n'$ zu zeigen. Die Bedingung

${}n'\cdot k=m\cdot k\,$

kann bei  ${}m=0$  wegen Fakt nicht gelten. Also ist ${}m$ ein Nachfolger, sagen wir  ${}m=\ell '$.  Somit ist

${}n\cdot k+k=n'\cdot k=m\cdot k=\ell '\cdot k=\ell \cdot k+k\,.$

Aus der Abziehregel folgt

${}n\cdot k=\ell \cdot k\,$

und aus der Induktionsvoraussetzung folgt

${}n=\ell \,,$

also

${}n'=\ell '=m\,.$

Zur bewiesenen Aussage