Zum Inhalt springen

Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity



Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen.

Dann besitzt die Produktmenge genau Elemente.

Wir führen Induktion über , also die Anzahl von . Wenn ist, so ist leer und damit ist auch die Produktmenge leer, hat also ebenfalls Elemente, was nach Fakt  (1) mit dem Produkt übereinstimmt. Dies sichert den Induktionsanfang. Wenn ist, so besteht aus genau einem Element, sagen wir , und alle Elemente der Produktmenge haben die Form mit diesem einen und einem beliebigen . Somit ist

eine bijektive Abbildung und hat genau so viele Elemente wie , nämlich . Dies stimmt nach Fakt  (2) mit dem Produkt überein. Es sei nun die Aussage für alle Mengen mit Elementen (und beliebige endliche Mengen ) bewiesen und es liege eine -elementige Menge vor. Es sei ein fixiertes Element und wir betrachten die disjunkte Zerlegung

Die Menge besitzt dann Elemente, sodass wir auf diese Menge die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Ferner ist

und diese Vereinigung ist disjunkt (die erste Komponente eines Paares ist entweder oder nicht ). Daher ist nach Fakt die Anzahl von gleich der Summe der Anzahlen der beiden Bestandteile, also nach der Induktionsvoraussetzung, dem einelementigen Spezialfall und Fakt  (3) gleich


Das Distributivgesetz illustriert anhand der Interpretation der Multiplikation als Anzahl einer Produktmenge.


Wir geben noch einen zweiten Beweis für die vorstehende Aussage.


Wir behaupten, dass die Abbildung[1]

bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle

unterteilen. Das Element gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein mit

mit zwischen und . Dann ist

mit einem zwischen und und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien

gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also

Da und beide zu gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich bzw. . Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn

und dann nach der Abziehregel auch

ist.

  1. Der Ausdruck bezeichnet hier den Vorgänger von , die Subtraktion haben wir noch nicht eingeführt.