Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung

$\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\longrightarrow M$

und eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow N$

gibt. Die Abbildung

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{m+1,\ldots ,m+n\},\,i\longmapsto m+i,$

ist nach Aufgabe bijektiv, sei ${}\theta$ die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt  (3)

$\varphi \circ \theta \colon \{m+1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow N$

ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung

$F\colon \{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N$

durch

${}F(k)={\begin{cases}\psi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,m\}\,,\\\varphi (\theta (k)),{\text{ falls }}k\in \{m+1,\ldots ,m+n\}\,.\end{cases}}\,$

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus ${}M$ durch den ersten Fall und jedes Element aus ${}N$ durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn

${}k\neq \ell \,$

gegeben sind, und das eine Element zu ${}\{1,\ldots ,m\}$ und das andere zu ${}\{m+1,\ldots ,m+n\}$ gehört, so ist ${}F(k)\in M$ und ${}F(\ell )\in N$ (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von ${}M$ und ${}N$. Wenn hingegen ${}k$ und ${}\ell$ aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von ${}F(k)$ und ${}F(\ell )$ aus der Injektivität von ${}\psi$ bzw. von ${}\varphi \circ \theta$. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung

$\{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N,$

sodass die Anzahl von ${}M\cup N$ gleich ${}m+n$ ist.

Zur bewiesenen Aussage