Beweis
Die Voraussetzung besagt, dass es eine
bijektive Abbildung
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und eine bijektive Abbildung
-
gibt. Die Abbildung
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ist
nach Aufgabe
bijektiv, sei
die
Umkehrabbildung.
Somit ist
nach Fakt (3)
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ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung
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durch
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![{\displaystyle {}F(k)={\begin{cases}\psi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,m\}\,,\\\varphi (\theta (k)),{\text{ falls }}k\in \{m+1,\ldots ,m+n\}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0b1e6af0aa4643df3485b8d09c8b9e52082554)
Diese Abbildung ist
surjektiv,
da jedes Element aus
durch den ersten Fall und jedes Element aus
durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn
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![{\displaystyle {}k\neq \ell \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c3e8341678cf39fa93a6d68b287135d955482f)
gegeben sind, und das eine Element zu
und das andere zu
gehört, so ist
und
(oder umgekehrt)
und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von
und
.
Wenn hingegen
und
aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von
und
aus der Injektivität von
bzw. von
. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung
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so dass die Anzahl von
gleich
ist.