Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung

und eine bijektive Abbildung

gibt. Die Abbildung

ist nach Aufgabe bijektiv, sei die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt  (3)

ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung

durch

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus durch den ersten Fall und jedes Element aus durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn

gegeben sind, und das eine Element zu und das andere zu gehört, so ist und (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von und . Wenn sie aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von und aus der Injektivität von bzw. . Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung

so dass die Anzahl von gleich ist.

Zur bewiesenen Aussage