Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Abbildung $\phi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss

$\phi \left(0_1\right)=0_2$

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell

$\phi \left(x^{\prime }\right)=(\phi (x){)}^{\star }$

für alle  $x\in N_1$.  Speziell gilt

$\phi \left(0_1^{\prime }\right)={(\phi (0_1))}^{\star }=0_2^{\star }.$

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

$\phi \left(0_1^{\prime \prime }\right)=\phi \left({\left(0_1^{\prime }\right)}^{\prime }\right)={\left(\phi \left(0_1^{\prime }\right)\right)}^{\star }={\left(0_2^{\star }\right)}^{\star }=0_2^{\star \star }.$

Ebenso muss

$\phi \left(0_1^{\prime \prime \prime }\right)=0_2^{\star \star \star },$

$\phi \left(0_1^{\prime \prime \prime \prime }\right)=0_2^{\star \star \star \star },$

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element $\ne 0_1$ aus $N_1$ von $0_1$ aus durch die Nachfolgerabbildung $\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von $N_1$ nach $N_2$.

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

$T=\{y\in N_2\mid \text{ Es gibt }x\in N_1\text{ mit }y=\phi (x)\}.$

Wir müssen zeigen, dass

$T=N_2$

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für $N_2$ an. Wegen

$\phi \left(0_1\right)=0_2$

gehört  $0_2\in T$.  Wenn  $y\in T$  ist, so ist also

$y=\phi (x)$

für ein  $x\in N_1$.  Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

$y^{\star }=\phi \left(x^{\prime }\right),$

d.h. auch  $y^{\star }\in T$.  Daher ist $T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also  $T=N_2$.  Zum Nachweis der Injektivität seien  $x,\tilde{x}\in N_1$  verschieden, und zwar sei $\tilde{x}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von $x$. Dann ist $\phi \left(\tilde{x}\right)$ der entsprechende Nachfolger von $\phi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe), da das Nachfolgernehmen in $N_2$ injektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage