Beweis
Da die Abbildung
insbesondere die Null respektieren soll, muss
-

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell
-

für alle
.
Speziell gilt
-

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen
-

Ebenso muss
-

-

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element
aus
von
aus durch die Nachfolgerabbildung
schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von
nach
.
Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge
-

Wir müssen zeigen, dass
-

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für
an. Wegen
-

gehört
.
Wenn
ist, so ist also
-

für ein
.
Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist
-

d.h. auch
.
Daher ist
unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also
.
Zum Nachweis der Injektivität seien
verschieden. und zwar sei
ein
(direkter oder)
höherer Nachfolger von
. Dann ist
der entsprechende Nachfolger von
und insbesondere davon verschieden
(siehe
Aufgabe),
da das Nachfolgernehmen in
injektiv ist.