Neilsche Parabel/Lokaler Ring/Regulär und nicht regulär/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${}V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ . In jedem Punkt ${}P\in V$ ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes

{}{\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,

höchstens ${}2$ , da dies für ${}K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ . Es gilt

{}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.

Bei ${}P=(0,0)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$ und ${}X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$ , also ist

{}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,

und die Einbettungsdimension ist ${}2$ . Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt ${}Q=(1,1)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$ und wir schreiben ${}X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$ . In ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher