Neilsche Parabel/Lokaler Ring/Regulär und nicht regulär/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel  ${}V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.  In jedem Punkt  ${}P\in V$  ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes

${}{\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,$

höchstens ${}2$, da dies für ${}K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$. Es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.$

Bei  ${}P=(0,0)$  ist  ${}{\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$  und  ${}X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$,  also ist

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt  ${}Q=(1,1)$  ist  ${}{\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$  und wir schreiben  ${}X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$.  In ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher

${}X-1={\frac {Y^{2}+Y+1}{X+1}}(Y-1)\,,$

wobei eben die rationale Funktion zu ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gehört. Daher ist dort

${}{\mathfrak {m}}_{Q}={\left(Y-1\right)}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}1$. Der lokale Ring in ${}(1,1)$ ist also regulär.