Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und

$K=\mathbb{Z}/(p)(U)\subseteq R=K[Y]/(Y^p-U).$

Zeige, dass  $R\cong K(Y)$  ist, dass $R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/K}$ nicht frei ist.

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