Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.$

Zeige, dass ${}R\cong K(Y)$ ist, dass ${}R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale

${}\Omega _{R{|}K}$ nicht frei ist.

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