Nilpotente Matrix/2/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

a) Nach Fakt ist eine ${}2\times 2$-Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr charakteristisches Polynom gleich ${}T^{2}$ ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich

${}\det TE_{2}-{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}T-x&-y\\-z&T-w\end{pmatrix}}=T^{2}-(x+w)T+xw-zy\,.$

Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen

${}x+w=0\,$

und

${}xw=zy\,$

erfüllt sind.

b) Die Gleichung

${}x+w=0\,$

ist offenbar linear (die Koeffizienten bezüglich ${}x,y,z,w$ sind ${}1,0,0,1$), die Gleichung

${}xw=zy\,$

ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus ${}K$ als Koeffizient in die Gleichung eingehen.

Zur gelösten Aufgabe