Nilpotenter Endomorphismus/Dimensionssprünge/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Es sei

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}-1\right)}\geq \dim _{K}{\left(V_{i+1}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$

gilt.

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