Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}\varphi ^{s}=0\,$

und ${}s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$

Es sei ${}U_{s}$ ein direktes Komplement zu ${}V_{s-1}$, also

${}V=V_{s-1}\oplus U_{s}\,.$

Wegen Fakt ist

${}\varphi ^{-1}(V_{s-2})=V_{s-1}\,$

und somit

${}\varphi (U_{s})\cap V_{s-2}=0\,.$

Daher gibt es einen Untervektorraum ${}U_{s-1}$ von ${}V_{s-1}$ mit

${}V_{s-1}=V_{s-2}\oplus U_{s-1}\,$

und mit

${}\varphi (U_{s})\subseteq U_{s-1}\,.$

In dieser Weise erhält man Untervektorräume ${}U_{i}\subseteq V_{i}$ mit

${}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$

und mit

${}\varphi (U_{i})\subseteq U_{i-1}\,.$

Ferner ist

${}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{s}\,,$

da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist ${}\varphi$ eingeschränkt auf ${}U_{i}$ mit ${}i\geq 2$ injektiv. Zu ${}v\in U_{i}\cap \operatorname {kern} \varphi =U_{i}\cap V_{1}\subseteq U_{i}\cap V_{i-1}$ ist ja wegen der Direktheit

${}v=0\,.$

Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis ${}{\mathfrak {u}}_{s}$ von ${}U_{s}$. Das (linear unabhängige) Bild ${}\varphi ({\mathfrak {u}}_{s})$ ergänzen wir zu einer Basis ${}{\mathfrak {u}}_{s-1}$ von ${}U_{s-1}$ und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von ${}V$. Die Basiselemente aus ${}{\mathfrak {u}}_{i}$ für ${}i\geq 2$ werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus ${}{\mathfrak {u}}_{1}$ auf ${}0$. Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus ${}{\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus ${}{\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis ${}{\mathfrak {u}}_{s}$ aufgebraucht ist. Dann arbeitet man ${}{\mathfrak {u}}_{s-1}$ in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.

Zur bewiesenen Aussage