Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

φ^{s} = 0

und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume

V_{i} := kern φ^{i} .

Es sei $U_{s}$ ein direktes Komplement zu $V_{s - 1}$ , also

V = V_{s - 1} \oplus U_{s} .

Es ist

φ (U_{s}) \cap V_{s - 2} = 0,

da die Elemente $\neq 0$ aus $U_{s}$ unter $φ^{s - 1}$ nicht auf $0$ abgebildet werden. Daher gibt es einen Untervektorraum $U_{s - 1}$ von $V_{s - 1}$ mit

V_{s - 1} = V_{s - 2} \oplus U_{s - 1}

und mit

φ (U_{s}) \subseteq U_{s - 1} .

In dieser Weise erhält man Untervektorräume $U_{i} \subseteq V_{i}$ mit

V_{i} = V_{i - 1} \oplus U_{i}

und mit

φ (U_{i}) \subseteq U_{i - 1} .

Ferner ist

V = U_{1} \oplus \dots \oplus U_{s},

da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist $φ$ eingeschränkt auf $U_{i}$ mit $i \geq 2$ injektiv. Zu $v \in U_{i} \cap kern φ = U_{i} \cap V_{1} \subseteq U_{i} \cap V_{i - 1}$ ist ja wegen der Direktheit

v = 0 .

Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis $𝔲_{s}$ von $U_{s}$ . Das (linear unabhängige) Bild $φ (𝔲_{s})$ ergänzen wir zu einer Basis $𝔲_{s - 1}$ von $U_{s - 1}$ und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von $V$ . Die Basiselemente aus $𝔲_{i}$ für $i \geq 2$ werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus $𝔲_{1}$ auf $0$ . Um eine Reihenfolge der Basis festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus $𝔲_{s}$ , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus $𝔲_{s}$ , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis $𝔲_{s}$ aufgebraucht ist. Dann arbeitet man $𝔲_{s - 1}$ in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.

Zur bewiesenen Aussage