Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

und minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume

Es sei ein direktes Komplement zu , also

Wegen Fakt ist

und somit

Daher gibt es einen Untervektorraum von mit

und mit

In dieser Weise erhält man Untervektorräume mit

und mit

Ferner ist

da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist eingeschränkt auf mit injektiv. Zu ist ja wegen der Direktheit

Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis von . Das (linear unabhängige) Bild ergänzen wir zu einer Basis von und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von . Die Basiselemente aus für werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus auf . Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus , gefolgt von all seinen Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus , gefolgt von all seinen Bildern, bis aufgebraucht ist. Dann arbeitet man in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.