Beweis
Es sei
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{s}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd896fef486c5f06eee685205645665d4b1d5c98)
und
minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
-
![{\displaystyle {}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968c50882dca9a63538616d8e3e9742ee8037cd4)
Es sei
ein direktes Komplement zu
, also
-
![{\displaystyle {}V=V_{s-1}\oplus U_{s}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe6fd726dda0ec385792d8edeb94b4efbbd354)
Wegen
Fakt
ist
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{-1}(V_{s-2})=V_{s-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8c0905e3c9973b9283165df4ab6a3bec715272)
und somit
-
![{\displaystyle {}\varphi (U_{s})\cap V_{s-2}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b63039d413ba303f181056b7d4b1844ca36dce5)
Daher gibt es einen Untervektorraum
von
mit
-
![{\displaystyle {}V_{s-1}=V_{s-2}\oplus U_{s-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb77ca4a25f86a2d4a8e85f9f031106d3be79a96)
und mit
-
![{\displaystyle {}\varphi (U_{s})\subseteq U_{s-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd8d116b0b78d4142230e6c2bfe380098068135)
In dieser Weise erhält man Untervektorräume
mit
-
![{\displaystyle {}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67143a4c6e58688d8ffcaca660ff3670a555e6d)
und mit
-
![{\displaystyle {}\varphi (U_{i})\subseteq U_{i-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d834df2ab80e341a4f7c9ea090bfc5e3e868477)
Ferner ist
-
![{\displaystyle {}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{s}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6c52e6311c34e8ef3f4910c27b7eab5ed230d4)
da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist
eingeschränkt
auf
mit
injektiv. Zu
ist ja wegen der Direktheit
-
![{\displaystyle {}v=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aafe6c829fd2bc48548093f9dbcd7759127bef)
Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis
von
. Das
(linear unabhängige)
Bild
ergänzen wir zu einer Basis
von
und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von
. Die Basiselemente aus
für
werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus
auf
. Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus
, gefolgt von all seinen Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus
, gefolgt von all seinen Bildern, bis
aufgebraucht ist. Dann arbeitet man
in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.