Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
Sei zuerst faktoriell und ein Primideal der Höhe . Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element . Dieses besitzt eine Faktorzerlegung
in Primelemente und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement mit . Dann liegt die Primidealkette
vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.
Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe ein Primhauptideal. Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also irreduzibel und sei ein minimales Primoberideal. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt die Höhe und nach Voraussetzung ist
mit einem Primelement . Also ist
und muss eine Einheit sein. Somit ist selbst prim.