Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst $R$ faktoriell und $𝔭$ ein Primideal der Höhe $1$. Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element $f\ne 0$ mit $f\in 𝔭$. Dieses besitzt eine Faktorzerlegung

$f=p_1,\dots ,p_n$

in Primelemente und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement  $p\ne 0$  mit  $p\in 𝔭$.  Dann liegt die Primidealkette

$(p)\subseteq 𝔭$

vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.

Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe $1$ ein Primhauptideal. Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also  $f\ne 0$  irreduzibel und sei  $f\in 𝔭$  ein minimales Primoberideal. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt $𝔭$ die Höhe $1$ und nach Voraussetzung ist

$𝔭=(p)$

mit einem Primelement $p$. Also ist

$f=gp$

und $g$ muss eine Einheit sein. Somit ist $f$ selbst prim.

Zur bewiesenen Aussage