Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst ${}R$ faktoriell und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element ${}f\neq 0$ mit ${}f\in {\mathfrak {p}}$. Dieses besitzt eine Faktorzerlegung

${}f=p_{1},\ldots ,p_{n}\,$

in Primelemente und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement  ${}p\neq 0$  mit  ${}p\in {\mathfrak {p}}$.  Dann liegt die Primidealkette

${}(p)\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.

Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe ${}1$ ein Primhauptideal. Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also  ${}f\neq 0$  irreduzibel und sei  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  ein minimales Primoberideal. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${}{\mathfrak {p}}$ die Höhe ${}1$ und nach Voraussetzung ist

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

mit einem Primelement ${}p$. Also ist

${}f=gp\,$

und ${}g$ muss eine Einheit sein. Somit ist ${}f$ selbst prim.

Zur bewiesenen Aussage